Сюжетные задачи – это наиболее древний вид задач. Они всегда широко использовались и будут использоваться в обучении математике. Ещё задолго до нашей эры в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии люди «грамотные» с успехом решали подобные задачи и систематизировали многие методы их решения. Известно, что долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.

Для того, чтобы понять математический смысл задачи, полезно найти более удобную, компактную и наглядную форму записи текста. Такой формой является схематическая запись. В зависимости от условия задачи это может быть словесная запись, запись в форме таблиц, отрезочных или столбчатых диаграмм, схем, рисунков и т.д. Такая запись служит схематизации условия, дает возможность одновременно видеть все связи между данными

Более подробно эта тема отражена на следующих сайтах:

http://www.mec.tgl.ru

http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=399

http://nsc.1september.ru/articlef.php?ID=200200904

http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-145.pdf

http://www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-144.pdf

 Я остановлюсь лишь на некоторых примерах 

Задача 1. Полярникам действующей станции сбросили с самолета два контейнера. В первом было 32 бочки с топливом, а во втором – 24 ящика с продуктами. Чему равен вес одного ящика, если каждая бочка весила 70 кг, а суммарный вес всего груза составил 3440 кг? Краткая запись условия:

План рассуждений «чтобы узнать - надо знать»:

1) вес одного ящика (m2),   вес продуктов(M2) и кол-во ящиков(n2)(изв.)

2) вес продуктов (M2), общий вес (M) (изв.) и вес топлива (М₁)

3) вес топлива (М1), количество бочек (n1) (изв.), и вес одной бочки (m1) (изв.)

Схематическая запись поиска (порядок поиска):

1)          М1;

2)          M2 ;

3)          n2.

Составление плана решения задачи, пожалуй, является главным шагом на пути ее решения. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Но составление плана может оказаться сложным и длительным процессом. В этом случае могут помочь следующие советы:

• Подумайте, известна ли вам задача, к которой можно свести решаемую. Если такая задача известна, то путь составления плана решения данной задачи очевиден: свести решаемую задачу к решенной ранее.Попытайтесь сформулировать задачу иначе. Иными словами, попытайтесь перефразировать задачу, не меняя ее математического содержания.
• При переформулировании задачи пользуются либо определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями). Надо отметить, что способность переформулировать текст задачи является показателем понимания математического содержания задачиСоставляя план решения задачи, всегда следует задавать себе вопрос: "Все ли данные задачи использованы?" Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения.  
• Попытайтесь преобразовать искомые или данные. Часто преобразование искомых или данных способствует более быстрому составлению плана решения. При этом искомые преобразуют так, чтобы они приблизились к данным, а данные - так, чтобы они приблизились к искомым. Так, при каждом случае тождественных преобразований данные преобразуются, постепенно приближаясь к результату (искомому). Аналогично уравнение, систему уравнений, неравенство или систему неравенств преобразуют в равносильные, чтобы найти их корни или множество решений.

Нередко случается так, что даже следуя указанным выше советам, все же не удается составить план решения. Тогда может помочь еще один совет: "Попробуйте решить лишь часть задачи". Т. е. попробуйте сначала удовлетворить лишь части условий, с тем, чтобы далее искать способ удовлетворить оставшимся условиям задачи. Другими словами, нужно разбить задачу на части, а затем решения этих «частей» синтетическим путем объединить в единое целое.

Рекомендуется также в составлении плана решения задачи  ответить на вопрос: "Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?" Обнаружив такой частный случай, решающий ставит перед собой новую цель - воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая.

Прежде чем перейти к следующим этапам процесса решения задачи (реализации плана решения, анализа найденного решения, поиска других способов решения), остановимся на методах решения задач.

Арифметический метод решения сюжетных задач

При арифметическом методе решения необходимо умение поставить вопрос, взаимосвязывающий три величины, то есть сформулировать элементарную задачу, в которой по двум величинам можно найти третью. Для поиска совокупности таких задач можно использовать классический анализ или синтез. При решении многих сюжетных однотипных задач последовательность действий не изменяется, меняются лишь числовые данные. Поэтому имеет смысл выделить некоторые ключевые задачи и рассмотреть способы их решения. Подходы к выделению ключевых задач могут быть различны. Обычно выделяют:

•  задачи на нахождение двух (или нескольких) чисел по их сумме и разности;
•  задачи на нахождение двух (или нескольких) чисел по их сумме (разности) и отношению;
•  задачи на предположение;
•  задачи на движение (в одну или разные стороны);
•  по течению и против течения;
•  задачи на совместную работу;
•  задачи на проценты;
•  задачи на тройное правило (простое и сложное);
•  задачи на смешение и сплавы и др.

Рассмотрим один из этих типов – задачу на предположение:

Задача 2. Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 килограммов смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

Запишем условие задачи в виде таблицы.

Стоимость смеси или выручку, которую хочет получить торговец, можно определить, зная цену смеси и количество проданных орехов: 72 × 50 = 3600 (цт).

Получили задачу на предположение.

Предположим, что все орехи торговец продает по цене 1-го сорта, тогда

1) 90 х 50=4500 (цт) – выручил бы торговец;

2) 4500 - 3600=900 (цт) – составила бы переплата (За счет чего?);

3) 90 - 60=30 (цт) – переплачивал бы торговец за каждый килограмм орехов 2-го сорта;

4) 900 : 30=30 (кг) – орехов 2-го сорта продал торговец;

5) 50 - 30=20 (кг) – орехов 1-го сорта продал торговец.

Ответ. 20 кг. орехов 1-го сорта и 30 кг. орехов 2-го сорта.

Арифметические задачи по характеру их решения можно условно разделить на алгоритмические, аналитико-синтетические, эвристические. Любая задача, сводящаяся к уравнению первой степени, может быть решена арифметически (с использованием счёта и четырёх арифметических действий).

К алгоритмическим задачам следует отнести те, в которых прямо указано, какие действия надо сделать с данными числами. Чаще всего такие задачи решаются в одно или несколько действий, порядок которых указан.

В задачах аналитико-синтетического вида действия с числами указаны косвенно, их можно определить по смыслу задачи.

Отметим еще несколько правил, которых следует придерживаться:

В полученной (при решении задач на составление уравнений) системе уравнений количество неизвестных может оказаться больше, чем количество уравнений. В этом случае нужно обратить внимание на вопрос задачи. Если искомая величина уже обозначена и присутствует в системе, то можно сразу начинать решение системы, последовательно исключая неизвестные (кроме искомой). На заключительном этапе лишние неизвестные исчезнут (сократятся или уничтожатся). Если искомой величины в системе нет, то её нужно обозначить и добавить к системе выражение этой величины через ранее введённые величины, а затем решить полученную систему уравнений.

  В условии задач на работу нередко говорится о выполнении некоторого задания без указания конкретных единиц, в которых измеряется работа. В этом случае обычно принимают всю работу за единицу: А=1. Как правило, для составления уравнения или системы уравнений, буквами обозначаются в первую очередь производительности участников работы, а остальные величины вводятся по мере необходимости.

 Основными формулами при решении задач на проценты для составления уравнений являются формулы простых и сложных процентов. При необходимости для составления уравнений вводится параметр, если первоначальное значение изменяемой величины не задано.

  Вещество и примесь в смеси (при решения задачи на концентрацию) - понятия условные, поэтому в качестве вещества можно выбрать любой компонент смеси.

Вернёмся к этапам решения сюжетной задачи.

На третьем этапе - реализации плана решения, необходимо рассмотреть все детали, которые вписываются в контур решения задачи, спланированный ранее (на 2 эпапе процесса решения задачи). Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. При этом полезно следовать некоторым советам:

ü  Проверяйте каждый свой шаг, убеждайтесь, что он совершен правильно. Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.

ü  Замените термины и символы их определениями.

Наконец ответ получен, казалось бы – задача решена, но – нет, необходим четвёртый, заключительный этап -  анализ полученного результата. Помните, что решение задачи не будет полным без проверки: получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение:

1) безошибочно,

2) обоснованно,

3) имеет исчерпывающий характер.

Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть отдельным этапом решения задачи. Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата. Проверка результата может производиться различными способами:

  Составление и решение обратной задачи. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что данная задача решена правильно.

Проверка соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными числами. При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получаются в ответе на вопрос задачи. Если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно. Способ целесообразно применять для проверки решения задач такой структуры, в которых можно получить числа, данные в задаче, путём выполнения соответствующих действий над числами, полученными в ответе.

  Решение задачи другим способом. Если задачу можно решить различными способами, то получение одинаковых результатов подтверждает, что задача решена правильно. Но два способа нельзя считать различными, если они отличаются только порядком выполнения действий!

        Кроме того, применение другого способа позволяет ответить на вопрос о рациональности найденного решения. А если вы решаете задачи не только с целью получения ответа, и вам хочется развить смекалку и способность рассуждать,  предлагаем для примера старинную китайскую задачу: «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов  и  94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов». Конечно, следуя правилам алгебраического метода, можно составить уравнение 4х + 2(35 -х) = 94, где х; — число кроликов, и получить ответ задачи.

Но, гораздо полезнее (для развития мышления) провести диалог, найденный у старых мастеров методики математики (в скобках показаны действия, выполняемые для получения ответа на вопрос):

- Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. И все кролики встали на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

 - 70   (35 Х 2 = 70)

 - Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?

 - Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.

 - Сколько их?

 - 24   (94 - 70 = 24)

 - Сколько же кроликов?

 - 12   (24 : 2 = 12)

 - А фазанов?

 - 23   (35-12 = 23).

Ответ:  (решите сами)

 Прикидка ответа. Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи определяется область значений искомого числа, т.е. устанавливается, больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений. Если он не соответствует установленным границам или здравому смыслу, значит, задача решена неправильно. Таким образом, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но он не исключает других способов проверки решения задач.

И наконец, завершая изложение обучающего материала, предлагаю следующую задачу для самостоятельного решения и анализа:

В полдень Боб вышел пробежаться трусцой со скоростью 5 миль в час. Часом позже Анна отправилась по тому же маршруту на велосипеде и догнала его в 4  милях от дома. Какова была скорость Анны?

• 2010 Май
• 2010 Июль
• 2010 Август
• 2010 Октябрь
• 2010 Ноябрь
• 2011 Февраль
• 2011 Март
• 2011 Апрель